Optiepricing - Black & Scholes - Excel Nieuws - ExcelStudie

Zoeken
Ga naar de inhoud

Hoofdmenu:

Optiepricing - Black & Scholes

Gepubliceerd door in Beurs ·
Tags: blackandscholesoptiepricing

Black & Scholes – Een intuitieve benadering (B&S)

 
Introductie
B&S is een formule om de huidige prijs van een callopte te schatten. Je kunt deze prijs vergelijken met de prijs van de call op de beurs wat je kan helpen bij de beslissing of je deze optie wilt kopen ja of nee.

Ontstaan
De B&S formule is gepubliceerd in 1973 door Fischer Black (Ph.D in Toegpaste wiskunde) en Myron Scholes (econoom). In 1997 ontvingen zij de ‘Nobelprijs’ van de Economie voor hun werk. Het is eigenlijk geen echte nobelprijs maar wordt in dezelfde ceremonie uitgereikt als de echte nobelprijzen en wordt jaarlijks toegekend door de Koninklijke Zweedse Academie voor Wetenschappen.

Praktijk
Sailant detail is dat Scholes voor Long Term Caital Mgt (hedgefonds) heeft gewerkt waar het B&S model in eerste instantie succesvol de praktijk werd gebracht. Maar uiteindelijk – dankzij een onwankelbaar geloof in en ver doorgevoerde automatisering van de gebruikte modellen in combinatie met economische turbulentie – heeft LTCM aan het eind van de jaren ’90 het onderspit moeten delven met $4,6 miljard aan restschuld.

Terug naar de formule
De formule ziet er complex uit. In dit artikel proberen we intuitief uit te leggen hoe B&S werkt, om vervolgens de formule met excel uit te werken. Het gebruik van statistische formules met Excel vereist wel enige kenis van statistiek. De lezer wordt aangeraden om de literatuur daarover te raadplegen. Onderaan dit artikel staan een aantal suggesties.

C = SN(d1) – Ke-rTN(d2)
 
Met de twee partiele differentialen d1 en d2

d1 = [ln(S/K) + (r + α2/2)T] / (α√T)
 
d2 = d1 - α√T

  • C = Waarde van de calloptie (voor europese optie, niet-dividendbetalend aandeel)
  • S = Huidige koers van het aandeel
  • K = Uitoefenkoers
  • T = Periode tot uitoefendatum
  • r = Risicovrije rentevoet (meestal rente van een staatsobligatie)
  • N(d1) = De waarschijnlijkheidsfactor die bepaalt in welke mate de contante waarde van de vermoedelijke opbrengst van een aandeel de huidige koers overtreft (we kunnen het niet simpeler opschrijven)
  • N(d2) = Waarschijnlijkheid dat de optie wordt uitgeoefend (als koers van het aandeel hoger is dan de uitoefenkoers op uitoefendatum)
  • α = Standaarddeviatie
 
Het idee achter de formule is dat je probeert om de contante waarde van een contract vast te stellen waarvan de waarde o.a. afhangt van de kans op een koers van een bepaald aandeel over (bijv.) een jaar. De waarde van het contract kan verschillen over tijd afhankelijk van de koersfluctuaties van het aandeel en de datum tot expiratie.

Als je mee kunt doen aan een spel waarbij je 10% kans hebt om met een inleg van 1000 euro, een bedrag te winnen van 100.000 euro, 20% op 50.000 euro en 50% op 1000 euro dan is de huidige waarde van dat spel 10% x 100.000 + 20% x 50.000 + 50% x 1000 – inleg = 10.000 +10.000 + 500 -1000 = 19.500 euro.

De waarde van je contract hangt niet alleen af van de kans op een bepaalde uitkomst, maar ook van de ontwaarding over tijd. Als je nu 1000 euro krijgt dan is dat meer waard dan als je die 1000 euro over een jaar krijgt. Over een jaar is de waarde van 1000 euro ge-erodeerd door inflatie en gemiste rente-inkomsten. Dan bepaalt ook nog de volatilieit van het rendement van een aandeel de waarde van je contract. Als de volatilieit groot is dan kan je winst enorm oplopen. Aan de andere kant, als de koers op uitoefendatum lager is dan de uitoefenkoers is de waarde van je contract nul, onder alle omstandigheden. Om deze reden zijn opties van hoogvolatiele aandelen altijd duurder dan die van aandelen met een lage volatilieit.

Deze drie factoren; kans, tijdswaarde en volatiliteit zie je terug in de B&S formule:
  • Kans N(d1) en N(d2)
  • Tijdsontwaarding e-rT
  • α (sigma) staat voor standdaardeviatie (in statistiek), in de B&S staat het voor de mate van volatiliteit van het rendement van een aandeel, uitgedrukt in %. Deze vind je weer terug in de N(d1) en N(d2).

Alle formules en de interne relaties staan uitgewerkt in het model.

 
 
Je vind o.a. de volgende formules:
 
  • d1 =LN(C8/C9)+((C11+0,5*C12^2)*C10)/(C12*SQRT(C10))
  • e-rT =EXP(-C11*C10)
  • N(d1) =NORMSDIST(C15)
  • N(d2) =NORMSDIST(C16)
 
Uitleg:
  • LN: de natuurlijk logarithme van Huidige koers (S) / Uitoefenkoers (K)
  • SQRT(C10): De wortel van de Expiratieperiode (T)
  • EXP(-C11*C10): Het grondtal van de natuurlijke logarithme (e = 2,7182818.....enz) tot de macht -Rentevoet (r) maal Expiratieperiode (T)
  • N(d1) =NORMSDIST(C15) (*)
  • N(d2) = Zie N(d1)

(*) Met NORMSDIST bepaal je de waarschijnlijkheid dat een waarde (in dit geval die van d1) zich links van je observatie bevindt in een normale distributie (bell-curve). Hoe groter dit percentage, des te waarschijnlijker  is het dat een bepaalde verwachting zich binnen het bereik bevindt.

Wat is het verschil tussen NORMDIST en NORMSDIST? Bij NORMDIST vormen de factoren  van de zgn. Z-score = [(Observatie – Gemiddelde) / Standdaarddeviatie] de input en bij NORMSDIST is de Z-factor reeds bekend, in geval van B&S wordt (d1) verondersteld de z-factor te zijn.

Literatuur

Black & Scholes en optiepricing:


Statistiek:


          

Hopelijk vond je dit een nuttig artikel. Als je vragen of opmerkingen hebt mail ons dan: info@excelstudie.nl. Of plaats een berichtje op onze facebookpagina.

Veel succes!

(c) 2016 eXcelstudie

Bronvermelding



Studiemateriaal
Korting op studieboeken bij bol.com
Korting op je studieboeken
TH83 Copyright 2016 (c)
Terug naar de inhoud | Terug naar het hoofdmenu